Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 2)$ heraus.

$3 x (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 0 + 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$8 - 12 + 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$- 4 + 1$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$- 3$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 1), (2, - 3)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

Schritt 2.1.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Schritt 2.1.2.1.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Schritt 2.1.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Schritt 2.1.2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Schritt 2.1.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

Schritt 2.1.2.1.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

Schritt 2.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Schritt 2.1.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 2.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Schritt 2.1.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Schritt 2.1.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

Schritt 2.1.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

Schritt 2.1.2.4.3

Addiere $- 7$ und $8$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$64 - 48 + 1$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $64$ .

$16 + 1$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $16$ und $1$ .

$17$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 17)$

Absolutes Minimum: $(2, - 3)$

Schritt 4