Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Schritt 1.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Schritt 1.10.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Schritt 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.2

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.8.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 4) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.10.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.2.3

Addiere $0$ und $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 2.10.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Schritt 2.10.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.10.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Schritt 2.10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Schritt 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Schritt 4.1.10

Vereinfache.

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Schritt 4.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Schritt 4.1.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Schritt 4.1.10.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Schritt 4.1.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.10.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Schritt 4.1.10.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5.3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.2.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2, 2$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(- 2)}^{3}$ .

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Schritt 9.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus ${(- 2)}^{3}$ heraus.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 9.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Schritt 9.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 10

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Schritt 11.2.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Schritt 11.2.2.2

Dividiere $8$ durch $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(2)}^{3}$ .

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Schritt 13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Schritt 13.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{3}$ heraus.

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 13.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Schritt 13.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{2}}$

Schritt 13.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 14

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Schritt 15.2.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Schritt 15.2.2.2

Dividiere $8$ durch $8$ .

$g (2) = 1$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ ist ein lokales Maximum

$(2, 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17