Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ on $- 1$ , $2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

Schritt 1.1.1.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

Schritt 1.1.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

Schritt 1.1.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

Schritt 1.1.1.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 3 x$ .

$3 x^{2} - 3 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 3 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) - 3 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 1)$ heraus.

$3 x (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Schritt 1.4.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - \frac{3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (1, - \frac{1}{2})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - 3}{2}$

Schritt 2.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$\frac{- 5}{2}$

Schritt 2.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus ${(2)}^{2}$ heraus.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$8 - 3 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 - 6$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$2$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - \frac{5}{2}), (2, 2)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2, 2)$

Absolutes Minimum: $(- 1, - \frac{5}{2})$

Schritt 4