Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq \frac{7 π}{4}$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{π}{4}$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{π}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $\frac{π}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $\cos (x + \frac{π}{4})$ mit $1$ .

$f' (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Schritt 1.2.4.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x + \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\sin (x + \frac{π}{4})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$\sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{π + π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $π$ und $π$ .

$\sin (\frac{2 π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\sin (\frac{2 (π)}{4})$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.1.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$\sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π + π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $5 π$ und $π$ .

$\sin (\frac{6 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 π$ heraus.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Schritt 1.4.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.4.2.2.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2.2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 1), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{4}, 1), (\frac{5 π}{4}, - 1)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Addiere $0$ und $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{4}$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{7 π + π}{4})$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $7 π$ und $π$ .

$\sin (\frac{8 π}{4})$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8 π$ heraus.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Schritt 3.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Schritt 3.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Schritt 3.2.2.3.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$\sin (2 π)$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0)$

Schritt 3.2.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, 0)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{π}{4}, 1)$

Absolutes Minimum: $(\frac{5 π}{4}, - 1)$

Schritt 5