Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.3

Kombiniere $8$ und $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{2} - 32 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.4.5.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5.2

Faktorisiere $8 x$ aus $- 32 x$ heraus.

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5.3

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x) + 8 x (- 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.4

Werte $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $(0) - 2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 {(0)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.4

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $(4) - 2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 {(4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{64}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{64}{1}$

Schritt 1.4.2.2.5

Dividiere $64$ durch $1$ .

$64$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

Schritt 1.4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (4, 64)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 0)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $(- 2) - 2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 {(- 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2.4

Dividiere $16$ durch $- 2$ .

$- 8$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Schritt 3.2.2.4

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$- 8$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 0)$

Absolutes Minimum: $(- 2, - 8), (1, - 8)$

Schritt 5