Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.1.1.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 1.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.3.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 1.2.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 1.2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 6 \cos (x) \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $3 \cos^{2} (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$3 \cos^{2} (0)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 \cdot 1^{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0$

Schritt 1.4.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + π n, 3), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{2}, 0)$

Schritt 3

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 3.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Schritt 3.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- 6 \cos (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - 6 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Berechne $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 2.49688101 \sin (- 2)$

Schritt 3.2.2.3

Berechne $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.49688101 \cdot - 0.90929742$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $2.49688101$ mit $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.27040748$

Schritt 3.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2.27040748$ .

$- 2.27040748$

Schritt 3.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 6 \cos (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - 6 \cos (1) \sin (1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Berechne $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 6 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0.5403023$ .

$f' (1) = - 3.24181383 \sin (1)$

Schritt 3.3.2.3

Berechne $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 3.24181383 \cdot 0.84147098$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 3.24181383$ mit $0.84147098$ .

$f' (1) = - 2.72789228$

Schritt 3.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2.72789228$ .

$- 2.72789228$

Schritt 3.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, π)$ in die erste Ableitung $- 6 \cos (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 6 \cos (2) \sin (2)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 6 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 2.49688101 \sin (2)$

Schritt 3.4.2.3

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.49688101 \cdot 0.90929742$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $2.49688101$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.27040748$

Schritt 3.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $2.27040748$ .

$2.27040748$

Schritt 3.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(π, \infty)$ in die erste Ableitung $- 6 \cos (x) \sin (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - 6 \cos (6) \sin (6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Berechne $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 6 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0.96017028$ .

$f' (6) = - 5.76102171 \sin (6)$

Schritt 3.5.2.3

Berechne $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 5.76102171 \cdot - 0.27941549$

Schritt 3.5.2.4

Mutltipliziere $- 5.76102171$ mit $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 1.60971875$

Schritt 3.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $1.60971875$ .

$1.60971875$

Schritt 3.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 3.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.8

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = π$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 3.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 \cos^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(\frac{π}{2}, 0)$

Schritt 5