Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 1.2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.2.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{1 + 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 1.4.2.2.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 2$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(- 1, - 2)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{- 16}{17}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{17}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 3.2.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 0)$

Absolutes Minimum: $(- 1, - 2)$

Schritt 5