Analysis Beispiele

$g (x) = e^{- x^{4}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{4}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{4}$ .

$e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$ um.

$- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$

Schritt 1.1.1.3.2

Stelle die Faktoren in $- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$ um.

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x^{4}} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $e^{- x^{4}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $e^{- x^{4}}$ gleich $0$ .

$e^{- x^{4}} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $e^{- x^{4}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x^{4}}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x^{4}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ wahr machen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $e^{- x^{4}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$e^{- {(0)}^{4}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{- 0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 1.4.1.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 1)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$e^{- {(- 2)}^{4}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$e^{- 1 \cdot 16}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e^{- 16}$

Schritt 2.1.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{16}}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$e^{- {(1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, \frac{1}{e^{16}}), (1, \frac{1}{e})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 1)$

Absolutes Minimum: $(- 2, \frac{1}{e^{16}})$

Schritt 4