Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{6 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x^{2}}{x - 2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2$ .

$6 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$6 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x \cdot x) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 (2 (x \cdot x)) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 (2 x^{2}) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$\frac{12 x^{2} - 24 x + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{12 x^{2} - 24 x - 6 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2} - 24 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.5.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 x (x) - 24 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$\frac{6 x (x) + 6 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.5.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x) + 6 x (- 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.4

Werte $\frac{6 x^{2}}{x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{6 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $(0) - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(0)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{0 - 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.4

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{6 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $(4) - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(4)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{2 - 1}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.4

Dividiere $48$ durch $1$ .

$48$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{6 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{6 {(2)}^{2}}{0}$

Schritt 1.4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (4, 48)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 0)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $(- 2) - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(- 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{3 \cdot 4}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2.4

Dividiere $12$ durch $- 2$ .

$- 6$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{6 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6 \cdot 1}{1 - 2}$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{- 1}$

Schritt 3.2.2.4

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$- 6$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - 6), (1, - 6)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 0)$

Absolutes Minimum: $(- 2, - 6), (1, - 6)$

Schritt 5