Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.7

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 1.2.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 1.2.11

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 1.2.12

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.12.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 1.2.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 1.2.14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.14.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.15

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.2.16.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.16.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.16.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 1.2.16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 1.2.16.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.17

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.17.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.17.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.17.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.17.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\sin (x) + \cos (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 1.4.2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sin (0) + \cos (0)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + \cos (0)$

Schritt 3.1.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 2 π$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $2 π$ .

$\sin (2 π) + \cos (2 π)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0) + \cos (2 π)$

Schritt 3.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + \cos (2 π)$

Schritt 3.2.2.1.3

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$0 + \cos (0)$

Schritt 3.2.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 1), (2 π, 1)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$

Absolutes Minimum: $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Schritt 5