Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sin (x) - 1$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 1 - \sin (x)$ .

$- 1 - \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 1 - \sin (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 1 - \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 1.2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 1.2.7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 1.2.7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 1.2.9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.9.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.10

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\cos (x) - x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $\frac{3 π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{7 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{7 π}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $\frac{7 π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{7 π}{2}$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = \frac{11 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{11 π}{2}$ .

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{11 π}{2}$

Schritt 1.4.3.2.2

Subtrahiere $\frac{11 π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{11 π}{2}$

Schritt 1.4.4

Berechne bei $x = \frac{15 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{15 π}{2}$ .

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Schritt 1.4.4.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{15 π}{2}$

Schritt 1.4.4.2.2

Subtrahiere $\frac{15 π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{15 π}{2}$

Schritt 1.4.5

Berechne bei $x = \frac{19 π}{2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Ersetze $x$ durch $\frac{19 π}{2}$ .

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Schritt 1.4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.5.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Schritt 1.4.5.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Schritt 1.4.5.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{19 π}{2}$

Schritt 1.4.5.2.2

Subtrahiere $\frac{19 π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{19 π}{2}$

Schritt 1.4.6

Liste all Punkte auf.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 - \frac{π}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 2 π$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $2 π$ .

$\cos (2 π) - (2 π)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (0) - (2 π)$

Schritt 3.2.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1 - (2 π)$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 π$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

Absolutes Minimum: $(2 π, 1 - 2 π)$

Schritt 5