Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$ ; $[- 4, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 4}$ als ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.7.3

Bringe ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Schritt 1.1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Schritt 1.1.1.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ als ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x + 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3.2

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.3.3.3.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.4

Werte $\sqrt[3]{x + 4}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(- 4, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\sqrt[3]{(4) + 4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $4$ und $4$ .

$\sqrt[3]{8}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$2$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 4, 0), (4, 2)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 2)$

Absolutes Minimum: $(- 4, 0)$

Schritt 4