Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{4} x + 2$ , $[0, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{4} x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{4} x$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{4} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{3}{4}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3}{4} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3}{4} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $3 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot (0) + 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$0 + 2$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot (4) + 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 4 + 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + 2$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$5$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 2), (4, 5)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 5)$

Absolutes Minimum: $(0, 2)$

Schritt 4