Analysis Beispiele

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $| x | + 2 | 1 - x |$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 | 1 - x |$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Schritt 1.1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 1.1.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Schritt 1.1.1.3.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.1.3.9

Kombiniere $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ und $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.1.3.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.1.3.11

Schreibe $- 1 (1 - x)$ als $- (1 - x)$ um.

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.1.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Schritt 1.1.1.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.1.3.14

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.1.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $\frac{x}{| x |}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$| 1 - x |, | x |$

Schritt 1.2.3.2

Da $| 1 - x |, | x |$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1$ und anschließend für den variablen Teil ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ .

Schritt 1.2.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.3.5

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.3.6

Der Teiler von ${| 1 - x |}^{1}$ ist $| 1 - x |$ selbst.

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.3.7

Der Teiler von ${| x |}^{1}$ ist $| x |$ selbst.

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.3.8

Das kgV von ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$| 1 - x | | x |$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ mit $| 1 - x | | x |$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ mit $| 1 - x | | x |$ .

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 1 - x |$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Faktorisiere $| 1 - x |$ aus $| 1 - x | | x |$ heraus.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.3

Multipliziere.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{| x |}$ in den Zähler.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Schritt 1.2.4.3.1.2

Faktorisiere $| x |$ aus $| 1 - x | | x |$ heraus.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Schritt 1.2.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Schritt 1.2.4.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ um.

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ durch $- x$ .

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.2

Dividiere $| 1 - x |$ durch $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 | x |}{- 1}$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (2 | x |)$ als $- (2 | x |)$ um.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

Schritt 1.2.6

Löse nach $| x |$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ um.

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

Schritt 1.2.6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1, 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 1.2.6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ mit $x$ .

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.6.4.1

Faktorisiere $2 | x |$ aus $2 | x | - 2 | x | x$ heraus.

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Schritt 1.2.6.4.1.1

Faktorisiere $2 | x |$ aus $2 | x |$ heraus.

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.4.1.2

Faktorisiere $2 | x |$ aus $- 2 | x | x$ heraus.

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.4.1.3

Faktorisiere $2 | x |$ aus $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ heraus.

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.4.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

Schritt 1.2.6.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ durch $2 (1 - x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ durch $2 (1 - x)$ .

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Schritt 1.2.6.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Schritt 1.2.6.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Schritt 1.2.6.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.2.6.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Schritt 1.2.6.4.3.2.2.2

Dividiere $| x |$ durch $1$ .

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Schritt 1.2.7

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Schritt 1.2.8

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Schritt 1.2.9

Löse $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.1

Löse nach $| 1 - x |$ auf.

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Schritt 1.2.9.1.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ um.

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

Schritt 1.2.9.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 (1 - x)$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.9.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.9.1.3.1.1

Vereinfache $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ .

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Schritt 1.2.9.1.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

Schritt 1.2.9.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1

Vereinfache $x (2 (1 - x))$ .

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

Bewege $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

Schritt 1.2.9.1.3.2.1.3

Stelle $2 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

Schritt 1.2.9.1.4

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.9.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ durch $x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.9.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.9.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.2.1.2

Dividiere $| 1 - x |$ durch $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.9.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Schritt 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

Schritt 1.2.9.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

Schritt 1.2.9.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

Schritt 1.2.9.4

Löse $1 - x = - 2 x + 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.9.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.9.4.1.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 - x + 2 x = 2$

Schritt 1.2.9.4.1.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$1 + x = 2$

Schritt 1.2.9.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.9.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 - 1$

Schritt 1.2.9.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.9.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1$

Schritt 1.2.10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

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Schritt 1.2.10.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 1.2.10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.10.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.10.3

Setze den Nenner in $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 1 - x | = 0$

Schritt 1.2.10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Schritt 1.2.10.4.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.10.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.10.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.10.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.10.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.10.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.10.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.10.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.10.4.4.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.10.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 1.2.11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 1.2.12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.2.12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 1.2.12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

Schritt 1.2.12.1.3

Die linke Seite $- 3$ ist nicht gleich der rechten Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.2.12.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 1.2.12.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

Schritt 1.2.12.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht gleich der rechten Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.2.12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

Schritt 1.2.12.3.3

Die linke Seite $3$ ist nicht gleich der rechten Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.2.12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 1.2.13

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3.3

Setze den Nenner in $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 1 - x | = 0$

Schritt 1.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Schritt 1.3.4.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.3.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.3.4.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.4.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.3.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0, x = 1$

Schritt 1.4

Werte $| x | + 2 | 1 - x |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0 + 2 | 1 - (0) |$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$0 + 2 | 1 |$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$1 + 2 | 1 - (1) |$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 2 | 1 - 1 |$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$1 + 2 | 0 |$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 2), (1, 1)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 + 2 | 1 + 2 |$

Schritt 2.1.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 + 2 | 3 |$

Schritt 2.1.2.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$2 + 2 \cdot 3$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 + 6$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $2$ und $6$ .

$8$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$2 + 2 | 1 - (2) |$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 + 2 | 1 - 2 |$

Schritt 2.2.2.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 + 2 | - 1 |$

Schritt 2.2.2.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 8), (2, 4)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, 8)$

Absolutes Minimum: $(1, 1)$

Schritt 4