Analysis Beispiele

$g (x) = 5 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3} e^{- x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$5 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.1.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{3} (- e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (x^{3} (e^{- x})) + 5 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 e^{- x} x^{2}$

Schritt 1.1.1.5.3

Stelle die Terme um.

$- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$

Schritt 1.1.1.5.4

Stelle die Faktoren in $- 5 e^{- x} x^{3} + 15 e^{- x} x^{2}$ um.

$f' (x) = - 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- x}$ aus $- 5 x^{3} e^{- x} + 15 x^{2} e^{- x}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- x}$ aus $- 5 x^{3} e^{- x}$ heraus.

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 15 x^{2} e^{- x} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- x}$ aus $15 x^{2} e^{- x}$ heraus.

$5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $5 x^{2} e^{- x}$ aus $5 x^{2} e^{- x} (- x) + 5 x^{2} e^{- x} (3)$ heraus.

$5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 1.2.6

Setze $- x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $- x + 3$ gleich $0$ .

$- x + 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $- x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $5 x^{3} e^{- x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$5 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0 e^{- (0)}$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Schritt 1.4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 e^{0}$

Schritt 1.4.1.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$5 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$5 \cdot 27 e^{- (3)}$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$135 e^{- (3)}$

Schritt 1.4.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$135 e^{- 3}$

Schritt 1.4.2.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$135 \frac{1}{e^{3}}$

Schritt 1.4.2.2.5

Kombiniere $135$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{135}{e^{3}}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (3, \frac{135}{e^{3}})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$5 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$5 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 e^{- (- 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 5 e^{1}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

$- 5 e$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$5 {(4)}^{3} e^{- (4)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$5 \cdot 64 e^{- (4)}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$320 e^{- (4)}$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$320 e^{- 4}$

Schritt 2.2.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$320 \frac{1}{e^{4}}$

Schritt 2.2.2.5

Kombiniere $320$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{320}{e^{4}}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - 5 e), (4, \frac{320}{e^{4}})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, \frac{135}{e^{3}})$

Absolutes Minimum: $(- 1, - 5 e)$

Schritt 4