Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} = 1$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = 1$ mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1 x$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 = x$

Schritt 1.2.5

Schreibe die Gleichung als $x = 1$ um.

$x = 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $\ln (x) - x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\ln (1) - (1)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 - (1)$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\ln (0) - (0)$

Schritt 1.4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, - 1)$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{x} - 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Schritt 2.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Schritt 2.2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{x} - 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Schritt 2.3.2.4.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 1$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 2.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = \ln (x) - x$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Kein absolutes Minimum

Schritt 4