Analysis Beispiele

$F (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ ; $[- 2, 0]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 2 x - 8$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $F (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 2 x - 8$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x + 4$ gleich $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - \frac{4}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{4}{3}$ .

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{3}$ an.

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.6.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.6.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.10

Multipliziere $- 8 (- \frac{4}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.10.2

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 12$

Schritt 1.4.1.2.1.10.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 12$

Schritt 1.4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{16}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 12$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{16}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 12$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 12$

Schritt 1.4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 12$

Schritt 1.4.1.2.2.5

Schreibe $12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{12}{1}$

Schritt 1.4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{12}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{12}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{12}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.2.8

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $32$ mit $9$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 12 \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.4.3

Mutltipliziere $12$ mit $27$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 324}{27}$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.5.1

Subtrahiere $48$ von $- 64$ .

$\frac{- 112 + 288 + 324}{27}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Addiere $- 112$ und $288$ .

$\frac{176 + 324}{27}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Addiere $176$ und $324$ .

$\frac{500}{27}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$8 - 4 - 16 + 12$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$4 - 16 + 12$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$- 12 + 12$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{4}{3}, \frac{500}{27}), (2, 0)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(- \frac{4}{3}, \frac{500}{27})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 12$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 12$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 12$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 12$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$- 8 - 4 + 16 + 12$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $- 8$ .

$- 12 + 16 + 12$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 12$ und $16$ .

$4 + 12$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $4$ und $12$ .

$16$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 12$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 12$

Schritt 3.2.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 12$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 12$

Schritt 3.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 12$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 12$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 12$

Schritt 3.2.2.2.3

Addiere $0$ und $12$ .

$12$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 16), (0, 12)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $F (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $F (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $F (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- \frac{4}{3}, \frac{500}{27})$

Absolutes Minimum: $(0, 12)$

Schritt 5