Analysis Beispiele

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan^{-1} (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Kombiniere $\frac{2}{1 + x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Schritt 1.1.1.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\tan^{-1} (x^{2})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Schritt 1.4.1.2.2

Der genau Wert von $\tan^{-1} (0)$ ist $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Schritt 2.2.2.2

Berechne $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Absolutes Minimum: $(0, 0)$

Schritt 4