Analysis Beispiele

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 9, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - | t - 2 |$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Schritt 1.1.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- | t - 2 |$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = | t |$ und $g (t) = t - 2$ .

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Schritt 1.1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Schritt 1.1.1.2.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Schritt 1.1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Schritt 1.1.1.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Schritt 1.1.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ mit $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ von $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$t - 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 2$

Schritt 1.2.4

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| t - 2 | = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$t - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 2$

Schritt 1.4

Werte $2 - | t - 2 |$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $t = 2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $t$ durch $2$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 - | 0 |$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$2 - 0$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(2, 2)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $t = - 9$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $t$ durch $- 9$ .

$2 - | (- 9) - 2 |$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $- 9$ .

$2 - | - 11 |$

Schritt 2.1.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 11$ und $0$ ist $11$ .

$2 - 1 \cdot 11$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$2 - 11$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $11$ von $2$ .

$- 9$

Schritt 2.2

Berechne bei $t = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $t$ durch $4$ .

$2 - | (4) - 2 |$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2 - | 2 |$

Schritt 2.2.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$2 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 9, - 9), (4, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $t$ gefundenen $f (t)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (t)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (t)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2, 2)$

Absolutes Minimum: $(- 9, - 9)$

Schritt 4