Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $4 + x$ mit $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + x - x - - 3$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$7 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $7 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.4

Werte $\frac{x - 3}{4 + x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Schritt 1.4.1.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Schritt 2.1.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Entferne die Klammern.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Schritt 2.2.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(1, - \frac{2}{5})$

Schritt 3

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, - \frac{2}{5})$

Kein absolutes Minimum

Schritt 5