Analysis Beispiele

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(2, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 4 x$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$8 {({(2)}^{3} - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(8 - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$8 {(8 - 8)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$8 \cdot 0^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 \cdot 0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Schritt 1.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$0 (12 - 4)$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$0 \cdot 8$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(2, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 0 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x - 2$ .

$y = 0$

Schritt 3