Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 (x y' + y)$

Schritt 1.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x y' + 4 y$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $4 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - 4 x y'$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 x y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 4 x$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 4 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - 4 x$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $2$ .

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ und $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

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Schritt 1.7.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 3 {(2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $3 {(2)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 \cdot 2 + 4$ und $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

Schritt 1.7.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.4.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 + 2$ und $3 - 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.7.5.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.7.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

Schritt 1.7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Schritt 1.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Schritt 1.7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 1.7.5.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y - 2 = - x + 2$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 2 + 2$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = - x + 4$

Schritt 3