Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $(- 5, - \frac{3}{5})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 5$ und $y = - \frac{3}{5}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 5$ .

$- \frac{3}{{(- 5)}^{2}}$

Schritt 1.7

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{3}{25}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{25}$ und einen gegebenen Punkt $(- 5, - \frac{3}{5})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{3}{5}) = - \frac{3}{25} \cdot (x - (- 5))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{3}{25} \cdot (x + 5)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{25} \cdot (x + 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{3}{5} = 0 + 0 - \frac{3}{25} \cdot (x + 5)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{3}{25} x - \frac{3}{25} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{25}$ .

$y + \frac{3}{5} = - \frac{x \cdot 3}{25} - \frac{3}{25} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{25}$ in den Zähler.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{x \cdot 3}{25} + \frac{- 3}{25} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{x \cdot 3}{25} + \frac{- 3}{5 (5)} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{x \cdot 3}{25} + \frac{- 3}{5 \cdot 5} \cdot 5$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{x \cdot 3}{25} + \frac{- 3}{5}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + \frac{3}{5} = - \frac{3 \cdot x}{25} + \frac{- 3}{5}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \frac{3}{5} = - \frac{3 x}{25} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $\frac{3}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x}{25} - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 3 - 3}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$y = \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{25} + \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.3.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{25} - \frac{6}{5}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{25} x) - \frac{6}{5}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{25} x - \frac{6}{5}$

Schritt 3