Analysis Beispiele

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 6$ , $(2, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Schritt 1.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Schritt 1.2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Schritt 1.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Schritt 1.5.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' x + 2 y' (- y)$ heraus.

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ durch $2 (x - y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ durch $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.3

Um $\frac{- x - y}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - y) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{- x - y}{x - y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(x - y) \cdot 2$ um.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.3.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.7.6.1

Schreibe $- (2 x + 2 y + 1)$ als $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Schritt 1.5.3.3.7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 4$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{2 (2) + 2 y + 1}{2 ((2) - y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $4$ .

$- \frac{2 (2) + 2 (4) + 1}{2 ((2) - (4))}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 + 2 (4) + 1}{2 (2 - (4))}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{4 + 8 + 1}{2 (2 - (4))}$

Schritt 1.7.3.3

Addiere $4$ und $8$ .

$- \frac{12 + 1}{2 (2 - (4))}$

Schritt 1.7.3.4

Addiere $12$ und $1$ .

$- \frac{13}{2 (2 - (4))}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{13}{2 (2 - 4)}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$- \frac{13}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{13}{- 4}$

Schritt 1.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{13}{4}$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $- - \frac{13}{4}$ .

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{13}{4})$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $\frac{13}{4}$ mit $1$ .

$\frac{13}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{13}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = \frac{13}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{13}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = \frac{13}{4} x + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{13}{4}$ und $x$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{13}{2}$ und $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13 \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13}{2}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4$

Schritt 2.3.2.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 8}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 13$ und $8$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{5}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{2}$

Schritt 3