Analysis Beispiele

$y = x^{\sin (x)}$ , $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{\sin (1)}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(1)}^{\sin (1)}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne $\sin (1)$ .

$y = 1^{0.0174524}$

Schritt 1.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $x^{\sin (x)}$ als $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Schritt 2.1.2

Zerlege $\ln (x^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von $\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $e^{\sin (x) \ln (x)}$ und $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Schritt 2.7.3

Stelle die Terme um.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Schritt 2.8

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$e^{\sin (1) \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.1.1

Berechne $\sin (1)$ .

$e^{0.0174524 \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.2

Vereinfache $0.0174524 \ln (1)$ , indem du $0.0174524$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln (1^{0.0174524})} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$1^{0.0174524} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.5

Mutltipliziere $\cos (1)$ mit $1$ .

$\cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.6

Berechne $\cos (1)$ .

$0.99984769 \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.7

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0.99984769 \cdot 0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.8

Mutltipliziere $0.99984769$ mit $0$ .

$0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Schritt 2.9.1.9

Dividiere $e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$ durch $1$ .

$0 + e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$

Schritt 2.9.1.10

Berechne $\sin (1)$ .

$0 + e^{0.0174524 \ln (1)} \sin (1)$

Schritt 2.9.1.11

Vereinfache $0.0174524 \ln (1)$ , indem du $0.0174524$ in den Logarithmus ziehst.

$0 + e^{\ln (1^{0.0174524})} \sin (1)$

Schritt 2.9.1.12

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$0 + 1^{0.0174524} \sin (1)$

Schritt 2.9.1.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 1 \sin (1)$

Schritt 2.9.1.14

Mutltipliziere $\sin (1)$ mit $1$ .

$0 + \sin (1)$

Schritt 2.9.1.15

Berechne $\sin (1)$ .

$0 + 0.0174524$

Schritt 2.9.2

Addiere $0$ und $0.0174524$ .

$0.0174524$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $0.0174524$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 0.0174524 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $0.0174524 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 0.0174524 x + 0.0174524 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $0.0174524$ mit $- 1$ .

$y - 1 = 0.0174524 x - 0.0174524$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 0.0174524 x - 0.0174524 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 0.0174524$ und $1$ .

$y = 0.0174524 x + 0.98254759$

Schritt 4