Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3}$ , $(- 1, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$3 {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $3$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 3 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 3 x + 3 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y + 1 = 3 x + 3$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 x + 3 - 1$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$y = 3 x + 2$

Schritt 3