Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + x}{1 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = \frac{1}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $1 + e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$\frac{1 + 0 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - x e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x) + 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.8

Schreibe $- (e^{x} x - 1)$ als $- 1 (e^{x} x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (e^{x} x - 1)}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{x} x - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ um.

$- \frac{x e^{x} - 1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{0 - 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{- 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{- 1}{2^{2}}$

Schritt 1.6.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{4}$

Schritt 1.6.4

Multipliziere $- - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Schritt 1.6.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(0, \frac{1}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}$

Schritt 3