Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{1}{27}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ als ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Schritt 2.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Schritt 2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Schritt 2.7.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Schritt 2.7.2.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $81$ .

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$- \frac{3 (4)}{81}$

Schritt 2.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Schritt 2.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Schritt 2.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{27}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{4}{27}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{1}{27})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Schritt 3.3.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Schritt 3.3.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{27}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $8$ und $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Schritt 3.3.2.4

Zerlege den Bruch $\frac{- 4 x + 9}{27}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Schritt 3.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 3.3.2.5.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Schritt 3.3.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.5.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Schritt 4