Analysis Beispiele

$y = x^{2} + x - 1$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = {(2)}^{2} + 2 - 1$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(2)}^{2} + 2 - 1$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2^{2} + 2 - 1$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(2)}^{2} + 2 - 1$

Schritt 1.2.4

Vereinfache ${(2)}^{2} + 2 - 1$ .

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 + 2 - 1$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $4$ und $2$ .

$y = 6 - 1$

Schritt 1.2.4.3

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$y = 5$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 x + 1$

Schritt 2.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$2 (2) + 1$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 1$

Schritt 2.7.2

Addiere $4$ und $1$ .

$5$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $5$ und einen gegebenen Punkt $(2, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = 5 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = 5 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $5 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = 5 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = 5 x + 5 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y - 5 = 5 x - 10$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 x - 10 + 5$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$y = 5 x - 5$

Schritt 4