Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{24})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{1}{24}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Schritt 1.4.3

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Schritt 1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{4}}$

Schritt 1.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{4}}$

Schritt 1.6

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{1}{24})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{24}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{16}$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{16}$ in den Zähler.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 (8)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{- 1}{8}$ und $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- - 1}{8}$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{24}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $3$ und $1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

Schritt 2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $24$ .

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Schritt 2.3.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

Schritt 2.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{16} x) + \frac{1}{6}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

Schritt 3