Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 1$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - \frac{1}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - \frac{1}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Schritt 3.3.2.5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Schritt 3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Schritt 4