Analysis Beispiele

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 4)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 4$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $8$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.3

Addiere $- 8$ und $8$ .

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.12.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Schritt 1.12.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 1.12.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(1, 4)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - 1$ .

$y - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4$

Schritt 3