Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{1}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Schritt 2.6.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{1}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Zerlege den Bruch $\frac{- x + 2}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.5.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Schritt 4