Analysis Beispiele

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{3} y' = 2 x$ um.

$4 y^{3} y' = 2 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = 2 x$ durch $4 y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = 2 x$ durch $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 9$ und $y = 3$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $3$ .

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{9}{54}$

Schritt 1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $54$ .

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{9 (1)}{54}$

Schritt 1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Schritt 1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Schritt 1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(9, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Schritt 3