Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 7$ , $(5, 18)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 5$ und $y = 18$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 5$ .

$2 (5)$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $10$ und einen gegebenen Punkt $(5, 18)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (18) = 10 \cdot (x - (5))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 18 = 10 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $10 \cdot (x - 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 18 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 18 = 10 \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 18 = 10 x + 10 \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$y - 18 = 10 x - 50$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 x - 50 + 18$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 50$ und $18$ .

$y = 10 x - 32$

Schritt 3