Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{5}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{- 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Schritt 1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 1.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 1.6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.6.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.6.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.6.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.6.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Schritt 1.6.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 1.6.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Schritt 1.6.2

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Schritt 1.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{5}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $- 1$ und $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Schritt 3