Analysis Beispiele

$g (x) = 3 e^{- 5 x}$ at the point $(0, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- 5 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$3 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 15 e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 e^{- 5 x} \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$- 15 e^{- 5 x}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- 15 e^{- 5 \cdot 0}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$- 15 e^{0}$

Schritt 1.5.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 15 \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$- 15$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 15$ und einen gegebenen Punkt $(0, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = - 15 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = - 15 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 3 = - 15 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 15 x + 3$

Schritt 3