Analysis Beispiele

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - y - 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Schritt 1.2.5

Addiere $1 - y'$ und $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Schritt 1.2.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.6.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Schritt 1.2.6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Stelle die Faktoren in $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ um.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3 {(x - y - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ durch $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ durch $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - y - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Um $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.2

Um $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.3.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.3.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $3 {(x - y - 1)}^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = - 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.3.6

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

Schritt 1.7.4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

Schritt 1.7.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2}{3}$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $- - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

Schritt 3