Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 3$ at $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = {(2)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{2} + 3$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(2)}^{2} + 3$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(2)}^{2} + 3$ .

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Schritt 1.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 + 3$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $4$ und $3$ .

$y = 7$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 7$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$2 (2)$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $4$ und einen gegebenen Punkt $(2, 7)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (7) = 4 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 7 = 4 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $4 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 7 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 7 = 4 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 7 = 4 x + 4 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y - 7 = 4 x - 8$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x - 8 + 7$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 8$ und $7$ .

$y = 4 x - 1$

Schritt 4