Analysis Beispiele

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{4}$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.5.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $4$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{4}, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Schritt 2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = 4 x - π$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x - π + 1$

Schritt 3