Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 2) (x^{2} + 4)$ , $(1, - 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x - 2) (2 x) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + 0)$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) \cdot 1$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$2 (x - 2) x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 4$

Schritt 1.3.3.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 4$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 - 4 + 4$

Schritt 1.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.5.2.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- 1 + 4$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$3$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $3$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 5) = 3 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 5 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 5 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + 5 = 3 x - 3$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 x - 3 - 5$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$y = 3 x - 8$

Schritt 3