Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x}{x - 1}$ at $(- 1, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x - 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$2 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.4.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$2 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Schritt 1.3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$- \frac{2}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Schritt 3