Analysis Beispiele

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - 2 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Schritt 1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Schritt 1.3

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Schritt 1.5.1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y' + y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Schritt 1.5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Schritt 1.5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ durch $2 x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y + 2$ heraus.

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Schritt 1.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y) + 2 (1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.6.1

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Schritt 1.5.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = - 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 2$ .

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Schritt 1.7.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Schritt 1.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{6}{5}$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $- - \frac{6}{5}$ .

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $1$ .

$\frac{6}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{6}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(2, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $10$ von $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Schritt 3