Analysis Beispiele

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{6}$ und $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.3.5

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Schritt 1.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Schritt 1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Schritt 1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Schritt 1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Schritt 1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{9}$

Schritt 1.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 1.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2)}{9}$

Schritt 1.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 2.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- π$ heraus.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2.3.3.8

Schreibe $- (π - 6 \sqrt{3})$ als $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ um.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Schritt 2.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 2.3.3.10

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 3