Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 6$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.6.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.13

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.14.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.14.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.14.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.15

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.17

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.18

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 1.6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 1.6.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Schritt 1.6.1.1.4

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Schritt 1.6.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Schritt 1.6.1.4

Multipliziere $- - \frac{10}{3}$ .

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Schritt 1.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Schritt 1.6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Schritt 1.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Schritt 1.6.5.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$\frac{7}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{7}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, 6)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{7}{3}$ und $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Schritt 2.3.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $7$ und $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Schritt 3