Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{1}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{1}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Zerlege den Bruch $\frac{- 3 x + 4}{2}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

Schritt 3