Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} - x + 1$ at $(1, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 1 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $6 x - 1$ und $0$ .

$6 x - 1$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$6 (1) - 1$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - 1$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $5$ und einen gegebenen Punkt $(1, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = 5 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $5 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y - 3 = 5 x - 5$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 x - 5 + 3$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 5$ und $3$ .

$y = 5 x - 2$

Schritt 3