Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x}$ at $(3, 3)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2} + 3$

Schritt 2.3.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 3$ und $6$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Schritt 3