Analysis Beispiele

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Schritt 1.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' + 0$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $2 y y'$ und $0$ .

$2 y y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y y'$ aus $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y y'$ aus $3 x^{2} y^{2} y'$ heraus.

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ heraus.

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ durch $y (3 x^{2} y - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ durch $y (3 x^{2} y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} y - 2$ .

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Schritt 1.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.4.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y^{3} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Schritt 1.5.4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Schritt 1.5.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = - 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

Schritt 1.7.4.2

Multipliziere $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.7.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

Schritt 1.7.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

Schritt 1.7.4.3

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

Schritt 1.7.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2}{5}$

Schritt 1.7.6

Multipliziere $- - \frac{2}{5}$ .

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$\frac{2}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

Schritt 3