Analysis Beispiele

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 5$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{25}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$25 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$- 50 x^{- 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 50$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 50}{x^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{50}{x^{3}}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 5$ .

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{50}{125}$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $125$ .

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$- \frac{25 (2)}{125}$

Schritt 1.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Schritt 1.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Schritt 1.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{2}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(5, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Schritt 3